実行日時: 2026-10-28T16:58:07（ID: 20261028-165807-bdfb3c）／ 対象: 高校生(数学III・C)／ TikZ作図: なし ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
0 でない定数 $a$ に関して $A=\frac{e^a-1-a}{a^2}$ とおく。また、この $A$ に関して関数 $f(x)$ を $f(x)=e^x-1-x-A x^2$ とおく。
\begin{itemize}
\item[（1）] $f(0), f(a)$ の値を求めよ。
\item[（2）] $f(x)$ について平均値の定理を用いて、 $\lim _{a \rightarrow 0}\left(\frac{e^a-1-a}{a^2}\right)$ の値を求めよ。
\item[（3）] $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ の値を求めよ。
\end{itemize}
追加指示 → 再生成
最新版（第1版）の最終解説をもとに、指示に従ってGPTが書き直し、Claudeが再検査します。
第1版（最新）
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解説TeX（最終）
\begin{itemize}
\item[（1）]
定義より、$f(0)=1-1=0$。
また、$Aa^2=e^a-1-a$ であるから、
$f(a)=e^a-1-a-Aa^2=0$。
したがって、$\boxed{f(0)=f(a)=0}$。
\item[（2）]
$f'(x)=e^x-1-2Ax$、$f''(x)=e^x-2A$ である。
$f(0)=f(a)=0$ より、平均値の定理から、$0$ と $a$ の間に
$f'(c)=0$ となる $c$ が存在する。
さらに、$f'(0)=0$ なので、$f'$ に平均値の定理を用いると、
$0$ と $c$ の間に $f''(d)=0$ となる $d$ が存在する。
よって、$e^d-2A=0$、すなわち $A=\dfrac{e^d}{2}$。
$|d|<|a|$ より、$a\to0$ のとき $d\to0$ であるから、
$\boxed{\displaystyle\lim_{a\to0}\dfrac{e^a-1-a}{a^2}=\dfrac12}$。
\item[（3）]
$u=\dfrac{e^x-1}{x}$ とおく。
指数関数の微分係数より、$x\to0$ のとき $u\to1$ であり、$0$ に十分近い $x$ では $u>0$ である。
$u-1=\dfrac{e^x-1-x}{x}$ なので、（2）より
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{u-1}{x}=\dfrac12$。
また、対数関数の $1$ における微分係数より、
$\displaystyle\lim_{u\to1}\dfrac{\log u}{u-1}=1$。
したがって、
$\log\left(u^{1/x}\right)
=\dfrac{\log u}{u-1}\cdot\dfrac{u-1}{x}\to\dfrac12$。
指数関数の連続性から、
$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right)^{1/x}
=e^{1/2}=\sqrt e}$。
\end{itemize}
GPT生成 解説TeX（検査前）
\begin{itemize}
\item[（1）]
定義より、$f(0)=1-1=0$。
また、$Aa^2=e^a-1-a$ であるから、
$f(a)=e^a-1-a-Aa^2=0$。
したがって、$\boxed{f(0)=f(a)=0}$。
\item[（2）]
$f'(x)=e^x-1-2Ax$、$f''(x)=e^x-2A$ である。
$f(0)=f(a)=0$ より、平均値の定理から、$0$ と $a$ の間に
$f'(c)=0$ となる $c$ が存在する。
さらに、$f'(0)=0$ なので、$f'$ に平均値の定理を用いると、
$0$ と $c$ の間に $f''(d)=0$ となる $d$ が存在する。
よって、$e^d-2A=0$、すなわち $A=\dfrac{e^d}{2}$。
$|d|<|a|$ より、$a\to0$ のとき $d\to0$ であるから、
$\boxed{\displaystyle\lim_{a\to0}\dfrac{e^a-1-a}{a^2}=\dfrac12}$。
\item[（3）]
$u=\dfrac{e^x-1}{x}$ とおく。
指数関数の微分係数より、$x\to0$ のとき $u\to1$ であり、$0$ に十分近い $x$ では $u>0$ である。
$u-1=\dfrac{e^x-1-x}{x}$ なので、（2）より
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{u-1}{x}=\dfrac12$。
また、対数関数の $1$ における微分係数より、
$\displaystyle\lim_{u\to1}\dfrac{\log u}{u-1}=1$。
したがって、
$\log\left(u^{1/x}\right)
=\dfrac{\log u}{u-1}\cdot\dfrac{u-1}{x}\to\dfrac12$。
指数関数の連続性から、
$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right)^{1/x}
=e^{1/2}=\sqrt e}$。
\end{itemize}