実行日時: 2026-10-28T19:06:21（ID: 20261028-190621-b8e720）／ 対象: 高校生(数学II・B)／ TikZ作図: なし ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥item $f(¥theta)=¥cos ^2 ¥theta -4 ¥sin ¥theta +7$の最大値・最小値を求めよ。
¥vspace{15ZW}
¥item $f(¥theta)=¥sin ^2 ¥theta -2 ¥sin ¥theta ¥cos ¥theta -¥cos ^2 ¥theta$の最大値・最小値を求めよ。
¥vspace{15ZW}
¥item $¥sin x + ¥cos y =¥dfrac{1}{2}~,~¥cos x -¥sin y =¥dfrac{1}{3}$のとき、$¥sin (x-y)$の値を求めよ。（方針：$¥sin (x-y)$を加法定理で展開すると...）
¥vspace{15ZW}
¥item $0 ¥leqq x < 2¥pi~,~0 ¥leqq y < 2¥pi$のとき、次の連立方程式を解け。（方針：1文字消去）¥¥
$¥begin{cases} ¥sin x - ¥sin y =¥dfrac{1}{2}¥¥
¥cos x + ¥cos y =¥dfrac{¥sqrt{3}}{2}
¥end{cases}$
追加指示 → 再生成
最新版（第1版）の最終解説をもとに、指示に従ってGPTが書き直し、Claudeが再検査します。
第1版（最新）
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解説TeX（最終）
\item
$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$より、$t=\sin\theta$とおくと、
$f(\theta)=8-4t-t^2=12-(t+2)^2$。
$-1\leqq t\leqq 1$なので、$1\leqq t+2\leqq 3$より
$3\leqq f(\theta)\leqq 11$。
したがって、\textbf{最大値は$11$}（$\sin\theta=-1$のとき）、
\textbf{最小値は$3$}（$\sin\theta=1$のとき）。
\item
倍角の公式と三角関数の合成より、
$f(\theta)=-\cos 2\theta-\sin 2\theta
=-\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$。
$\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$は$-1$から$1$までのすべての値をとる。
したがって、\textbf{最大値は$\sqrt{2}$}（この正弦が$-1$のとき）、
\textbf{最小値は$-\sqrt{2}$}（この正弦が$1$のとき）。
\item
加法定理より、$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$。
この式をつくるため、与えられた二式をそれぞれ平方して加えると、
$(\sin x+\cos y)^2+(\cos x-\sin y)^2
=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{13}{36}$。
左辺を展開してまとめると、
$2+2(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=\dfrac{13}{36}$。
よって、$2+2\sin(x-y)=\dfrac{13}{36}$より、
答えは$\boxed{\sin(x-y)=-\dfrac{59}{72}}$。
\item
与えられた式から、
$\sin y=\sin x-\dfrac{1}{2}$、
$\cos y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos x$。
これらを$\sin^2y+\cos^2y=1$に代入すると、
$\left(\sin x-\dfrac{1}{2}\right)^2
+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos x\right)^2=1$。
展開して整理すると、
$2-\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$、
すなわち$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$。
$0\leqq x<2\pi$より、
$\dfrac{\pi}{3}\leqq x+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{7\pi}{3}$なので、
$x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{13\pi}{6}$。
したがって、$x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{11\pi}{6}$。
$x=\dfrac{\pi}{2}$のとき、
$\sin y=\dfrac{1}{2}$、$\cos y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$より、
$y=\dfrac{\pi}{6}$。
$x=\dfrac{11\pi}{6}$のとき、
$\sin y=-1$、$\cos y=0$より、
$y=\dfrac{3\pi}{2}$。
よって、答えは
$\boxed{(x,y)=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{6}\right),\
\left(\dfrac{11\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\right)}$。
GPT生成 解説TeX（検査前）
\item
$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$より、$t=\sin\theta$とおくと、
$f(\theta)=8-4t-t^2=12-(t+2)^2$。
$-1\leqq t\leqq 1$なので、$1\leqq t+2\leqq 3$より
$3\leqq f(\theta)\leqq 11$。
したがって、\textbf{最大値は$11$}（$\sin\theta=-1$のとき）、
\textbf{最小値は$3$}（$\sin\theta=1$のとき）。
\item
倍角の公式と三角関数の合成より、
$f(\theta)=-\cos 2\theta-\sin 2\theta
=-\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$。
$\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$は$-1$から$1$までのすべての値をとる。
したがって、\textbf{最大値は$\sqrt{2}$}（この正弦が$-1$のとき）、
\textbf{最小値は$-\sqrt{2}$}（この正弦が$1$のとき）。
\item
加法定理より、$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$。
この式をつくるため、与えられた二式をそれぞれ平方して加えると、
$(\sin x+\cos y)^2+(\cos x-\sin y)^2
=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{13}{36}$。
左辺を展開してまとめると、
$2+2(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=\dfrac{13}{36}$。
よって、$2+2\sin(x-y)=\dfrac{13}{36}$より、
答えは$\boxed{\sin(x-y)=-\dfrac{59}{72}}$。
\item
与えられた式から、
$\sin y=\sin x-\dfrac{1}{2}$、
$\cos y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos x$。
これらを$\sin^2y+\cos^2y=1$に代入すると、
$\left(\sin x-\dfrac{1}{2}\right)^2
+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos x\right)^2=1$。
展開して整理すると、
$2-\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$、
すなわち$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$。
$0\leqq x<2\pi$より、
$\dfrac{\pi}{3}\leqq x+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{7\pi}{3}$なので、
$x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{13\pi}{6}$。
したがって、$x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{11\pi}{6}$。
$x=\dfrac{\pi}{2}$のとき、
$\sin y=\dfrac{1}{2}$、$\cos y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$より、
$y=\dfrac{\pi}{6}$。
$x=\dfrac{11\pi}{6}$のとき、
$\sin y=-1$、$\cos y=0$より、
$y=\dfrac{3\pi}{2}$。
よって、答えは
$\boxed{(x,y)=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{6}\right),\
\left(\dfrac{11\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\right)}$。