LaTeX 解説生成・検査パイプライン

第1版（最新）

Claudeによる指摘事項

- 記法違反(軽微):4番目の項目の最終行 $\boxed{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{1/2}{1/3}=\dfrac{3}{2}}$ において、分数部分が「1/2」「1/3」とスラッシュ表記になっており、指定された\dfrac表記のルールに従っていない。\dfracを用いた表記に修正する。
- その他、数式の計算・論理・場学年適合性については誤りは見当たらない(各設問の最大・最小値、三角関数の値の導出、京都大学の問題の角度の決定はいずれも正しく、代入確認も整合する)。

修正後の解説TeX（最終）

\item
$t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$とおくと、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$である。
また、$t^2=1+2\sin\theta\cos\theta$より、

$y=2(t^2-1)-4t=2(t-1)^2-4$。

したがって、$t=1$のとき最小となり、$t=1$から最も遠い$t=-\sqrt{2}$のとき最大となる。

よって、\textbf{最大値は$2+4\sqrt{2}$、最小値は$-4$}である。

\item
$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$とおく。
$0\leqq x\leqq\pi$より、$-1\leqq t\leqq\sqrt{2}$である。
$\sin 2x=t^2-1$なので、

$f(x)=3t^2+at-2=3\left(t+\dfrac{a}{6}\right)^2-2-\dfrac{a^2}{12}$。

下に凸の放物線なので、最大値は区間の端でとる。
$t=-1,\sqrt{2}$での値はそれぞれ$1-a,\ 4+\sqrt{2}a$であり、$a>0$より後者が大きい。

最小値については、軸$t=-\dfrac{a}{6}$が区間内にある条件は$0<a\leqq6$である。
$a>6$のときは、区間内で増加するので$t=-1$で最小となる。

よって、\textbf{最大値は$4+\sqrt{2}a$}、
\textbf{最小値は$0<a\leqq6$のとき$-2-\dfrac{a^2}{12}$、$a>6$のとき$1-a$}である。

\item
与えられた2式をそれぞれ2乗して加えると、

$(\sin\alpha+\cos\beta)^2+(\cos\alpha+\sin\beta)^2
=\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$。

左辺を展開し、加法定理を用いると、

$2+2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)=1$、
すなわち$2+2\sin(\alpha+\beta)=1$。

よって、$\boxed{\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{1}{2}}$。

\item
和を積に直す公式より、

$2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac{1}{2}$、

$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac{1}{3}$。

第2式の右辺は$0$でないので、第1式を第2式で割ることができる。
したがって、

$\boxed{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{1}{2}\times3=\dfrac{3}{2}}$。

\item
\begin{enumerate}
\item
与えられた2式をそれぞれ2乗して加えると、

$(\cos x+\cos y)^2+(\sin x+\sin y)^2
=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{13}{36}$。

左辺は$2+2\cos(x-y)$であるから、

$\boxed{\cos(x-y)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{13}{36}-2\right)=-\dfrac{59}{72}}$。

\item
加法定理より、

$\cos 2x=\cos\{(x+y)+(x-y)\}
=\cos(x+y)\cos(x-y)-\sin(x+y)\sin(x-y)$、

$\cos 2y=\cos\{(x+y)-(x-y)\}
=\cos(x+y)\cos(x-y)+\sin(x+y)\sin(x-y)$。

辺々を加えると、$\boxed{\cos 2x+\cos 2y=2\cos(x+y)\cos(x-y)}$を得る。

\item
与えられた2式の2乗の差をとると、

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}
=(\cos x+\cos y)^2-(\sin x+\sin y)^2
=\cos 2x+\cos 2y+2\cos(x+y)$。

(1)、(2)より、

$\dfrac{5}{36}
=2\cos(x+y)\left(-\dfrac{59}{72}+1\right)
=\dfrac{13}{36}\cos(x+y)$。

よって、$\boxed{\cos(x+y)=\dfrac{5}{13}}$。
\end{enumerate}

\item
条件より、$\cos\alpha+\cos\beta=-\cos\gamma$、
$\sin\alpha+\sin\beta=-\sin\gamma$。
これらをそれぞれ2乗して加えると、

$2+2\cos(\beta-\alpha)=1$。

したがって、$\cos(\beta-\alpha)=-\dfrac{1}{2}$。
同様に、$\alpha,\gamma$の項を左辺にまとめれば、
$\cos(\gamma-\alpha)=-\dfrac{1}{2}$を得る。

$0<\beta-\alpha<\gamma-\alpha<2\pi$であり、この範囲で$\cos t=-\dfrac{1}{2}$となるのは
$t=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$である。
よって、

$\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$、$\gamma-\alpha=\dfrac{4\pi}{3}$。

したがって、$\boxed{\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3},\quad\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}{3}}$。

\item
$t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$とおくと、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$である。
また、$t^2=1+2\sin\theta\cos\theta$より、

$y=2(t^2-1)-4t=2(t-1)^2-4$。

したがって、$t=1$のとき最小となり、$t=1$から最も遠い$t=-\sqrt{2}$のとき最大となる。

よって、\textbf{最大値は$2+4\sqrt{2}$、最小値は$-4$}である。

\item
$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$とおく。
$0\leqq x\leqq\pi$より、$-1\leqq t\leqq\sqrt{2}$である。
$\sin 2x=t^2-1$なので、

$f(x)=3t^2+at-2=3\left(t+\dfrac{a}{6}\right)^2-2-\dfrac{a^2}{12}$。

下に凸の放物線なので、最大値は区間の端でとる。
$t=-1,\sqrt{2}$での値はそれぞれ$1-a,\ 4+\sqrt{2}a$であり、$a>0$より後者が大きい。

最小値については、軸$t=-\dfrac{a}{6}$が区間内にある条件は$0<a\leqq6$である。
$a>6$のときは、区間内で増加するので$t=-1$で最小となる。

よって、\textbf{最大値は$4+\sqrt{2}a$}、
\textbf{最小値は$0<a\leqq6$のとき$-2-\dfrac{a^2}{12}$、$a>6$のとき$1-a$}である。

\item
与えられた2式をそれぞれ2乗して加えると、

$(\sin\alpha+\cos\beta)^2+(\cos\alpha+\sin\beta)^2
=\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$。

左辺を展開し、加法定理を用いると、

$2+2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)=1$、
すなわち$2+2\sin(\alpha+\beta)=1$。

よって、$\boxed{\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{1}{2}}$。

\item
和を積に直す公式より、

$2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac{1}{2}$、

$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac{1}{3}$。

第2式の右辺は$0$でないので、第1式を第2式で割ることができる。
したがって、

$\boxed{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{1/2}{1/3}=\dfrac{3}{2}}$。

\item
\begin{enumerate}
\item
与えられた2式をそれぞれ2乗して加えると、

$(\cos x+\cos y)^2+(\sin x+\sin y)^2
=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{13}{36}$。

左辺は$2+2\cos(x-y)$であるから、

$\boxed{\cos(x-y)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{13}{36}-2\right)=-\dfrac{59}{72}}$。

\item
加法定理より、

$\cos 2x=\cos\{(x+y)+(x-y)\}
=\cos(x+y)\cos(x-y)-\sin(x+y)\sin(x-y)$、

$\cos 2y=\cos\{(x+y)-(x-y)\}
=\cos(x+y)\cos(x-y)+\sin(x+y)\sin(x-y)$。

辺々を加えると、$\boxed{\cos 2x+\cos 2y=2\cos(x+y)\cos(x-y)}$を得る。

\item
与えられた2式の2乗の差をとると、

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}
=(\cos x+\cos y)^2-(\sin x+\sin y)^2
=\cos 2x+\cos 2y+2\cos(x+y)$。

(1)、(2)より、

$\dfrac{5}{36}
=2\cos(x+y)\left(-\dfrac{59}{72}+1\right)
=\dfrac{13}{36}\cos(x+y)$。

よって、$\boxed{\cos(x+y)=\dfrac{5}{13}}$。
\end{enumerate}

\item
条件より、$\cos\alpha+\cos\beta=-\cos\gamma$、
$\sin\alpha+\sin\beta=-\sin\gamma$。
これらをそれぞれ2乗して加えると、

$2+2\cos(\beta-\alpha)=1$。

したがって、$\cos(\beta-\alpha)=-\dfrac{1}{2}$。
同様に、$\alpha,\gamma$の項を左辺にまとめれば、
$\cos(\gamma-\alpha)=-\dfrac{1}{2}$を得る。

$0<\beta-\alpha<\gamma-\alpha<2\pi$であり、この範囲で$\cos t=-\dfrac{1}{2}$となるのは
$t=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$である。
よって、

$\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$、$\gamma-\alpha=\dfrac{4\pi}{3}$。

したがって、$\boxed{\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3},\quad\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}{3}}$。